Корень существительного - попугай

Корень: попуга-.

Почему так: смотрим формы — попугай, попугая, попугаю, попугаем, о попугае. Во всех случаях неизменной остаётся часть попуга-, а меняется только окончание (-й, -я, -ю, -ем, -е). То же видно по однокоренным словам: попугайчик, попугайный — основа та же. Слово заимствованное и непроизводное, поэтому корень совпадает с основой без окончания, то есть попуга-.