Как пишется слово "без спроса"?

Правильно: без спроса — раздельно.

Почему так: это предлог без + существительное спрос в родительном падеже (без кого/чего? — без спроса). Наречием это сочетание не является, поэтому слитное написание и дефис исключены.

Примеры:

• Он ушёл без спроса.

• Взял вещь без всякого спроса.

Допустим и разговорный устойчивый вариант без спросу (устар.-разг.), но он тоже пишется раздельно: Зашёл без спросу.