Как проверить правописание буквы "е" в слове "петрушка"?

Никак — это словарное написание. В слове петру́шка ударение падает на -у-, поэтому безударную е в корне проверить подбором формы или однокоренным словом не получается: петру́шки, петру́шке, петру́шечка, петруши́стый — везде е остаётся безударной. Значит, слово относится к словам с непроверяемой гласной в корне и пишется петрушка по словарю. Для запоминания можно пользоваться ассоциацией: «ПЕтя любит трушку — петрушку» — на письме в начале слышится именно е.