Какой корень в слове "попасть"?

Корень — -паст- (чередуется с -пад-).

Разбор по составу: по- (приставка) + -паст- (корень) + -ть (суффикс инфинитива).
Чередование видно по родственным формам: попадать, попаду, попадёт, попадание — здесь корень выступает как -пад-, а в форме попасть реализуется историческое чередование д // ст (ср. пары: падать — пасть, попадать — попасть).

Важно не путать с существительным пасть («рот животного») — это другое слово и другой корень.