Выкач(а,е)нный из подвала бочонок

Правильно: выкачанный из подвала бочонок.

Почему так: это страдательное причастие прошедшего времени от глагола выкачать (приставка вы- + основа кач(а)-). Для причастий, образованных от глаголов на -ать с суффиксом -а-, пишется суффикс -анн-:
качать → выкачать → выкач-анн-ый (краткая форма — выкачан).

Форма выкаченный была бы уместна для глаголов типа на -ить (построить — построенный), но к выкачать это не относится, поэтому -енн- здесь неверно.

Кстати, если бы имелось в виду «выкатить бочонок из подвала» (т. е. выкатывание, а не выкачивание содержимого), то корректно было бы выкатанный из подвала бочонок — это уже от глагола выкатать/выкатить и с другим смыслом.