Женя сломил её с дерева просто так. Какой будет падеж у местоимения её?

Винительный падеж.

Объяснение. В предложении «Женя сломил её с дерева просто так» местоимение «её» — дополнение при переходном глаголе «сломил». Задаём вопрос от сказуемого: «сломил (кого? что?)». Ответ — «её» (подразумевается женский предмет: ветку, палку и т. п.). Значит, это винительный падеж.

Важно помнить, что форма «её» омонимична: она совпадает у родительного и винительного падежей, но синтаксическая роль (прямое дополнение при переходном глаголе) указывает именно на винительный.