Как разобрать как часть речи слово "на окне"?

Коротко: «на окне» — это не одно слово и не часть речи, а словосочетание: предлог + существительное. Разбирать «как часть речи» нужно каждое слово отдельно.

Я бы оформил так:

• на — предлог (служебная часть речи), непроизводный. Сам не изменяется, обслуживает падежную форму существительного.

• окне — существительное окно: нарицательное, неодушевлённое, средний род, 2-е склонение; форма — ед. число, предложный падеж (отвечает на вопрос «где?»).

Вместе это предложно-падежная форма существительного («на» + П.п.), чаще всего обозначает место.

Синтаксическая роль зависит от контекста:

• с глаголом: Кружка стоит на окне — обстоятельство места;

• при существительном: цветок на окне — обычно несогласованное определение к слову «цветок».

Итог: как часть речи «на окне» не классифицируется, классифицируются «на» (предлог) и «окне» (существительное в П.п., ед. ч.).