Какой частью речи является "о" в этом предложении? В изнеможении он оперся о край стола.

В данном предложении "о" является предлогом. Предлог "о" используется для указания на объект, о котором идет речь, в данном случае это край стола. Предлог "о" также может указывать на направление или место действия, как в данном контексте, где он помогает обозначить, к чему человек прикоснулся (оперся).