Можно ли написать глаголы с частичкой "Не" раздельно в таких случаях. (не)здоровится,(не)откладывай.

Коротко по правилам и по смыслам.

1) (не)здоровится
— В значении «кому-то плохо, недомогается» пишется слитно: Сегодня мне нездоровится. Это устоявшийся глагол-предикатив со значением состояния.
— Раздельно — когда отрицаете сам глагол здоровиться (он существует, обычно разговорный/редкий) или есть слова-усилители отрицания/нюансирования: мне не совсем здоровится; Как вам здоровится? — Не здоровится.
Итого: чаще — нездоровится; раздельное написание допустимо при реальном отрицании глагола здоровиться (часто с «совсем/вовсе/отнюдь/далеко не», при противопоставлении и в ответах).

Не путайте с выражением не поздоровится (‘кому-то придётся плохо’) — здесь всегда раздельно: Ему не поздоровится.

2) (не)откладывай
С глаголами «не» обычно пишется раздельно, если глагол употребляется без «не». Откладывать — обычный глагол, поэтому: не откладывай (Не откладывай на потом). Слитного неоткладывай нет; слитно бывает только в других словах того же корня, например неотложный.