Березовая и берестяная — однокоренные?

Коротко: нет, не однокоренные — по нормам школьного разборa.

Почему:

• берёзовая ← от сущ. берёза ‘дерево’. Корень: берёз- (берёз-а, берёз-ка, берёз-ник, берёз-овый).

• берестяная ← от сущ. береста ‘кора берёзы’. Корень: берест- (берест-а, берест-ян-ой, берест-яные грамоты).

Хотя значения связаны тематически (береста — это кора берёзы), в современном словообразовании это две разные корневые морфемы: берёз- и берест-. Одно слово не образовано от другого, поэтому их не считают однокоренными в школьных заданиях. (Историческое родство основ языковедов здесь не учитывается.)

Не путайте ещё с словом берест ‘вяз (дерево)’ — это вообще другой корень и другое значение.