Как пишется "внешниму" или "внешнему"?

Правильно: «внешнему».

Это форма дательного падежа единственного числа мужского/среднего рода от прилагательного «внешний» (по образцу: синий → синему, ранний → раннему). Окончание -ему пишется после н: внешн-ему. Вариант «внешниму» неверен: сочетание -иму в дательном падеже у качественных прилагательных не употребляется.

Коротко по формам:

• И.п.: внешний (м.р.), внешнее (ср.р.)

• Р.п.: внешнего

• Д.п.: внешнему

• Т.п.: внешним

• П.п.: о внешнем

• Ж.р. Д.п.: внешней

Примеры:

• «Благодаря внешнему интерфейсу работать стало удобнее».

• «Мы следуем внешнему регламенту».

• «По внешнему виду устройство не отличается».