В чем разница между словами "ободрится" и "приободрится"?

Коротко: оба глагола — про «стать бодрее/веселее», но приободриться обычно значит «слегка, немного ободриться», а ободриться — «по-настоящему, заметно прийти в бодрое состояние».

Чуть подробнее по оттенкам:

• Ободриться — полнота результата: набраться духу, окрепнуть морально или даже физически взбодриться. Часто ощущается как перелом в состоянии.
  Примеры: «Выспался и ободрился», «После поддержки друзей он ободрился и продолжил работу».

• Приободриться — приставка при- добавляет смысл неполной меры, краткости или начального этапа действия: «чуть-чуть оживиться, немного воспрянуть».
  Примеры: «Выпил чаю и приободрился», «После хороших новостей мы немного приободрились, но расслабляться рано».

Стилистика и управление:

• Оба слова нейтральные, уместны и в разговоре, и в письменной речи.

• По смыслу приободриться мягче и осторожнее; им часто описывают временное или умеренное улучшение настроения.

• Пары с переходными глаголами аналогичны: ободрить кого-то (сделать смелее, увереннее) и приободрить кого-то (чуть поддержать, подбодрить слегка).

И ещё про форму: в 3-ем лице ед. числа — «он ободрится / приободрится» (-тся), в инфинитиве — «ободриться / приободриться» (-ться). Смысловая разница при этом сохраняется.