Разбор как часть речи слово на хвосте

Это не одно «слово», а сочетание из предлога и существительного: на хвосте.

Разбор по частям речи и морфологии:

• на — предлог (неизменяемая служебная часть речи), управляет творительным или предложным падежом; здесь — предложный.

• хвосте — имя существительное, начальная форма: хвост; род: мужской; одушевлённость: неодуш.; склонение: 2-е; число: единственное; падеж: предложный (вопрос на чём?); форма: «хвост-е».

Что это за форма в целом: предложно-падежная конструкция «на + П.п.».

Синтаксическая роль в предложении: чаще всего обстоятельство места (сидит на хвосте — где?), но в некоторых контекстах может выступать обстоятельством образа действия/способа (идти на хвосте в значении «плотно преследовать»). Всё зависит от глагола-сказуемого и значения фразы.