"В несчастье не унывай, а печаль одолевай." Почему "не унывай" пишется раздельно?

Потому что это глагол в повелительном наклонении, а частица «не» с глаголами в русском языке в значении обычного отрицания пишется раздельно: не делать, не читать, не унывать; не унывай.

Слитно с глаголами «не» пишется лишь в исключительных случаях, когда слово без «не» не употребляется (ненавидеть, недоумевать, негодовать), либо когда это приставка недо- со значением недостаточности результата (недосказать, недооценить). К нашему примеру это не относится: унывать прекрасно употребляется без «не», а «не» выражает простое запретительное/отрицательное значение.

Для контраста: при переходе в имя признака возможно слитное написание — неунывающий человек (постоянное качество), но в форме глагола — не унывай — только раздельно.