Учитель и учреждение — однокоренные слова?

Да, "учитель" и "учреждение" — это однокоренные слова. Оба слова происходят от корня "уч-", который связан с процессом обучения или образования.

"Учитель" — это существительное, которое обозначает человека, занимающегося обучением, то есть того, кто учит. Это слово образовано с помощью суффикса "-ель", который указывает на лицо, выполняющее действие (в данном случае, учение).

"Учреждение" — это существительное, которое обозначает организацию или заведение, созданное для выполнения какой-либо функции, в том числе образовательной. Оно образовано от того же корня "уч-", но с добавлением суффиксов "-ре-" (образующий процесс) и "-ение" (указывающий на процесс или результат действия).

Таким образом, оба слова имеют общий корень "уч-" и связаны с деятельностью, направленной на обучение или организацию процесса обучения.