Начать жизнь сначала или "с начала"? В этом конкретном случае "сначала" является подлежащим или существительным? Желателен пример из классической литературы.

Коротко: «начать жизнь сначала» — правильно слитно; здесь «сначала» — наречие со значением «заново, вновь», это обстоятельство, а не подлежащее и не существительное.
Вариант «с начала» пишется раздельно, когда это сочетание предлога с и существительного начало в родительном падеже, и почти всегда требует уточнения: с начала чего? — с начала года, с начала весны, с начала разговора.

Почему так:

• Если можно без потери смысла заменить на «заново/вновь», пишем сначала слитно: начать сначала (= заново), сначала было трудно (= поначалу).

• Если просится зависимое слово после «с начала» (года, фильма, урока), это уже предлог + существительное: прочитал с начала книги.

Разбор вашего примера
«Начать жизнь сначала»:

• сказуемое — начать, дополнение — жизнь,

• сначала — наречие (обстоятельство образа действия: как начать? — сначала, заново). Подлежащего здесь нет — это инфинитивная конструкция.

Пример из классической литературы (для раздельного написания):
У классиков регулярно встречаются формулы типа: «с начала зимы», «с начала мая», «с начала кампании» (у Толстого, Тургенева, Гончарова и др.). В таких случаях «начало» — это обычное существительное в Р.п., а вся группа отвечает на вопрос с какого момента?

Итого: в вашем случае — только «сначала» (слитно), это наречие, а не подлежащее и не существительное. Раздельное «с начала» нужно, когда обозначаем отправную точку времени/отсчёта и можем добавить зависимое слово: с начала чего именно?