Мать протолкалась вперед и смотрела на сына снизу вверх, полная гордости. (Горький) Алеша, задумчивый, направился к отцу. (Достоевский). А театр осаждало людское море, буйное, напористое. (Н.Островский). Потом пришла весна, яркая, солнечная. (Горький). Косой дождь, гонимый сильным ветром, лил как из ведра. (Л. Толстой).

Разберу по одному и объясню, что здесь обособляется и почему.

1. «Мать протолкалась вперед и смотрела на сына снизу вверх, полная гордости.»
   Определяемое слово: «мать».
   Что обособлено: «полная гордости» — согласованное определение, выраженное прилагательным с зависимым словом (прилагательное «полная» + зависимое существительное «гордости»).
   Почему с запятой: стоит после определяемого слова, имеет добавочное обстоятельственное значение состояния/причины (какова? в каком состоянии? — полная гордости). Поэтому обособляется.

2. «Алеша, задумчивый, направился к отцу.»
   Определяемое слово: «Алеша».
   Что обособлено: одиночное согласованное определение «задумчивый», выраженное прилагательным.
   Почему с запятыми: определение стоит в постпозиции и обособлено как пояснительное, указывающее на внутреннее состояние субъекта. Одиночные прилагательные при собственных именах в таком положении обычно обособляются.

3. «А театр осаждало людское море, буйное, напористое.»
   Определяемое слово: «море».
   Что обособлено: «буйное, напористое» — однородные согласованные определения (два прилагательных).
   Почему с запятыми: определения стоят после определяемого слова и носят уточняюще-пояснительный характер, поэтому отделяются запятыми как ряд однородных обособленных определений.

4. «Потом пришла весна, яркая, солнечная.»
   Определяемое слово: «весна».
   Что обособлено: «яркая, солнечная» — однородные согласованные определения (два прилагательных).
   Почему с запятыми: постпозиция + пояснительный оттенок (какова была именно эта весна), поэтому обособляется как ряд однородных определений после определяемого слова.

5. «Косой дождь, гонимый сильным ветром, лил как из ведра.»
   Определяемое слово: «дождь».
   Что обособлено: «гонимый сильным ветром» — причастный оборот (краткое причастие здесь невозможно; форма полная — «гонимый» — с зависимым словом «сильным ветром»).
   Почему с запятыми: классическое обособление причастного оборота, стоящего после определяемого слова и добавляющего дополнительный признак/обстоятельственный оттенок причины («почему лил косо?» — потому что гонимый ветром).

Итог по типам: во всех примерах — обособленные определения. В (1), (2), (3), (4) — согласованные определения (прилагательные; в (3) и (4) — однородные), в (5) — причастный оборот. Везде обособление обусловлено постпозицией и пояснительным/описательным характером признака.