Приезжий — какая часть речи?

«Приезжий» — это прилагательное. По смыслу: «из другого места; прибывший откуда-то» (напр.: приезжий мастер, приезжие гости).

Однако в речи часто субстантивируется и употребляется как существительное со значением «человек, который приехал»:

• помочь приезжему; встретил приезжих; разговаривал с приезжим.
  В таком употреблении склоняется как прилагательное, но выполняет роль существительного (есть формы мужского и женского рода: приезжий, приезжая).

Разряд по значению: обычно относят к относительным прилагательным (степеней сравнения и краткой формы не образует: не говорят «более приезжий», «приезжий — прие́зже»).