Кое с кем — это наречие или местоимение?

Это не наречие. «Кое с кем» — это сочетание предлога с неопределённым местоимением:

• кое — частица, образующая неопределённую форму местоимения;

• с — предлог;

• кем — форма творительного падежа местоимения кто.

В “разбитой” форме с предлогом частица кое пишется отдельно и выносится перед предлогом: кое с кем, кое у кого, кое к кому (ср.: слитно с дефисом без предлога: кое-кто, кое-что).

Проверка по смыслу: можно заменить на синонимичное местоименное сочетание с кем-то / с кем-нибудь. По функции в предложении это будет, как правило, дополнение: Я поговорил кое с кем.