Слова "кладовая", "кладут", "клад", "кладовщик" — это однокоренные слова?

Да, это однокоренные слова: у всех общий корень клад- и общее значение «класть, складывать; то, что сложено/складировано».

Коротко по составу:

• клад — корень клад-, нулевое окончание; значение «то, что положено, сложено» (исторически — «сумма положенных предметов», отсюда и «сокровища, спрятанные/положенные»).

• кладут — корень клад-, личное окончание -ут (форма глагола класть «они кладут»).

• кладовая — корень клад-, суффикс -ов-, суффикс прилагательного/субстантивации -а-я → «помещение для складирования».

• кладовщик — корень клад-, суффикс -ов-, суффикс -щик → «тот, кто ведёт склад/хранит сложенное».

Замечание: чередование клад- / лож- встречается в паре класть — положить, но это уже другой корень (лож-), хотя смысловая связь «класть/кладу» сохраняется. В приведённом наборе все формы — с корнем клад-, поэтому слова однокоренные.