К какой части речи относятся слова: вдогонку, навстречу?

Коротко: оба слова могут быть и наречиями, и производными предлогами — всё зависит от контекста.

Как различить

1. Предлог — если слово управляет существительным/местоимением в дательном падеже (есть зависимое слово «кому? чему?»).

• Послал письмо вдогонку телеграмме. (кому? чему? — телеграмме) → предлог.

• Он шагнул навстречу девушке. (кому? чему? — девушке) → предлог.

2. Наречие — если слово стоит самостоятельно, без зависимого слова, отвечает на вопросы обстоятельства (куда? как? зачем?).

• Крикнул ему вдогонку. (как/когда/зачем? — наречие)

• Они шли навстречу. (куда? — наречие)

Итого: вдогонку и навстречу — омонимичные формы: как наречия (без управляемого слова) и как производные предлоги (с существительным/местоимением в дательном падеже).