почему во всех словах, кроме "цыган", "цыпочки", "цыкал", "цыплёнок", после "ц" стоит "и"?

Это правило русской орфографии, связанное с историей языка и особенностями произношения.

В современном русском языке после буквы «ц» в корне слова пишется «и», а не «ы», потому что звук [ц] считается всегда твёрдым, и сочетание ци со временем стало нормой письма. Исторически в древнерусском языке после «ц» действительно могла писаться «ы», но в процессе развития языка орфография была упрощена и унифицирована: закрепили написание «ци» как основное.

Однако есть пять слов-исключений, где после «ц» пишется «ы»:

• цыган

• цыплёнок

• цыпочки

• цыкал

• цыц

(иногда «цыплёнок» и «цыпочки» считают однокоренными, но в школе их всё равно перечисляют отдельно).

Почему именно они? Эти слова:

• относятся к разговорной, народной речи;

• закрепились в языке до окончательного установления современного орфографического правила;

• сохраняют старое написание по традиции.

Важно также понимать границу правила:

• в корне — почти всегда «и» (цирк, цифра, цитата);

• в окончаниях и суффиксах после «ц» чаще пишется «ы» (молодцы, огурцы, пальцы).

Итог простой:
«Ци» — правило, «цы» — несколько заучиваемых исключений, которые сохранились в языке исторически.