Вставьте безударные окончание прилагательных, определите падежи По осеннему лесу

Сочетание «по осеннему лесу»:

1. Вставляем безударное окончание прилагательного:
   осенн-ему → осеннему (окончание -ему).

2. Определяем падеж (и у прилагательного, и у существительного):
   Предлог «по» в значении движения/направления (“по чему?”) требует дательного падежа.
   Значит: по (чему?) лесу — дательный падеж.
   Следовательно: по (какому?) осеннему лесу — прилагательное тоже стоит в дательном падеже.

Итог:
по осеннему лесу — дательный падеж, окончание прилагательного -ему.