Недорогие, а красивые цветы, чувствовалась неискренность, читал вовсе невыразительно, неширокое, а узкое ущелье, нелепый вид, очень некрасивый поступок, далеко нелёгкая задача, одет весьма небрежно, не умолкая ни на минуту, не усвоив предыдущей темы, не смотря мне в глаза; пошли в поход, несмотря на дождь; ненавидел ложь, не обязан отвечать, ничего не понимающий зверёк, полы не покрашены, не обладающий тактом человек, невыносимая духота, не распечатанный, а заклеенный конверт, не замеченный нами факт, ничего не сделано, не переставая говорить, не ослабевающий интерес, как ни в чём не бывало, во что бы то ни стало.

Вопрос здесь про слитное и раздельное написание НЕ с разными частями речи и про случаи, когда НЕСМОТРЯ НА — это предлог (уступка), а НЕ СМОТРЯ — деепричастие (действие: «не глядя»). Разберу все примеры по порядку и поясню правило.

1) Недорогие, а красивые цветы

Правильно: не дорогие, а красивые — раздельно.
Причина: есть противопоставление с союзом “а”: не X, а Y.

2) Чувствовалась неискренность

Правильно: неискренность — слитно.
Это существительное, образованное с НЕ, и без “не” слово либо не употребляется в нужном значении, либо здесь речь о качестве как о явлении (искренность ↔ неискренность). Противопоставления нет — пишем слитно.

3) Читал вовсе невыразительно

Правильно: вовсе невыразительно — обычно слитно: невыразительно.
“Невыразительно” — наречие на -о, в значении “без выражения”. Здесь “вовсе” выступает как усилитель, но не всегда “вовсе” требует раздельного написания. Раздельно чаще бывает в конструкции вовсе не + признак в смысле “совсем не” при логическом отрицании (“вовсе не выразительно, а скучно”). В вашем примере естественнее воспринимается как цельное качество чтения → невыразительно (слитно).

4) Неширокое, а узкое ущелье

Правильно: не широкое, а узкое — раздельно.
Опять явное противопоставление с “а”.

5) Нелепый вид

Правильно: нелепый — слитно.
Можно заменить синонимом без НЕ: “смешной”, “странный”, “абсурдный” (по смыслу). Противопоставления нет — слитно.

6) Очень некрасивый поступок

Правильно: некрасивый — слитно.
С прилагательными обычно слитно, если это утверждение признака (некрасивый = “плохой, неприличный”), и нет противопоставления. Слова степени (“очень”) как раз поддерживают слитное написание: “очень некрасивый”.

7) Далеко нелёгкая задача

Правильно: далеко не лёгкая — раздельно.
Слова далеко, вовсе, отнюдь в значении усиленного отрицания обычно требуют раздельного: далеко не лёгкая.

8) Одет весьма небрежно

Правильно: небрежно — слитно.
Наречие на -о, смысл “неаккуратно”. “Весьма” усиливает признак → слитно.

9) Не умолкая ни на минуту

Правильно: не умолкая — раздельно.
Это деепричастие (“умолкая”) — с НЕ обычно раздельно: не умолкая.

10) Не усвоив предыдущей темы

Правильно: не усвоив — раздельно.
Деепричастие (“усвоив”) → раздельно.

11) Не смотря мне в глаза

Правильно: не смотря — раздельно.
Это деепричастие в прямом смысле “не глядя”.

12) Пошли в поход, несмотря на дождь

Правильно: несмотря на — слитно.
Здесь это предлог уступки (значение “вопреки”, “хотя был дождь”). Это уже не “не глядя”, а устойчивое “несмотря на”.

13) Ненавидел ложь

Тут “не” нет. Просто форма глагола: “ненавидел”.

14) Не обязан отвечать

Правильно: не обязан — раздельно.
Краткое прилагательное/сказуемое “обязан” с отрицанием чаще пишется раздельно, это именно отрицание обязанности.

15) Ничего не понимающий зверёк

Правильно: не понимающий — раздельно.
Причина: причастие/причастный оборот с зависимым словом (“ничего”) → раздельно.

16) Полы не покрашены

Правильно: не покрашены — раздельно.
Краткое страдательное причастие (“покрашены”) → обычно раздельно: не покрашены.

17) Не обладающий тактом человек

Правильно: не обладающий — раздельно.
Причастие с зависимым словом (“тактом”) → раздельно.

18) Невыносимая духота

Правильно: невыносимая — слитно.
Устойчивое прилагательное со значением качества (“очень тяжёлая, невозможно терпеть”), можно заменить синонимом (“нестерпимая”) → слитно.

19) Не распечатанный, а заклеенный конверт

Правильно: не распечатанный, а заклеенный — раздельно.
Есть противопоставление с “а”.

20) Не замеченный нами факт

Правильно: не замеченный — раздельно.
Причастие с зависимым словом (“нами”) → раздельно.

21) Ничего не сделано

Правильно: не сделано — раздельно.
Краткое причастие/сказуемое (“сделано”) + отрицание → раздельно.

22) Не переставая говорить

Правильно: не переставая — раздельно.
Деепричастие → раздельно.

23) Не ослабевающий интерес

Правильно: не ослабевающий — чаще слитно, если подразумевается устойчивый признак “постоянный, не снижающийся” и нет зависимых слов, усиливающих отрицание или противопоставления.
Но если в контексте подчёркнуто именно отрицание (“интерес не ослабевающий, а растущий”) — тогда раздельно. В вашем варианте без противопоставления и без зависимых слов обычно воспринимается как цельное качество → неослабевающий (слитно).

24) Как ни в чём не бывало

Правильно именно так: как ни в чём не бывало.
Это устойчивое выражение: “будто ничего не случилось”.

25) Во что бы то ни стало

Правильно именно так: во что бы то ни стало.
Тоже устойчивое выражение со значением “любой ценой”.

Итог (как правильно писать в вашем списке)

• не дорогие, а красивые

• неискренность

• (вовсе) невыразительно

• не широкое, а узкое

• нелепый

• очень некрасивый

• далеко не лёгкая

• весьма небрежно

• не умолкая

• не усвоив

• не смотря (мне в глаза)

• несмотря на (дождь)

• не обязан

• ничего не понимающий

• не покрашены

• не обладающий (тактом)

• невыносимая

• не распечатанный, а заклеенный

• не замеченный (нами)

• ничего не сделано

• не переставая

• неослабевающий / не ослабевающий (в зависимости от смысла; без контекста чаще слитно)

• как ни в чём не бывало

• во что бы то ни стало