Деепричастия в предложении выступают в роли

Деепричастия в предложении выступают в роли обстоятельства.

То есть деепричастие (и деепричастный оборот) обозначает добавочное действие, которое совершает то же лицо (тот же предмет), что и действие, выраженное сказуемым, и отвечает на вопросы обстоятельства:

• что делая? (несовершенный вид): Он шёл, насвистывая.

• что сделав? (совершенный вид): Он ушёл, попрощавшись.

По смыслу деепричастие может уточнять разные виды обстоятельств, например:

1. Обстоятельство времени

• Услышав звонок, он вышел.* (когда? после какого действия?)

2. Обстоятельство причины

• Не зная ответа, он промолчал.* (почему?)

3. Обстоятельство условия

• Работая регулярно, добьёшься результата.* (при каком условии?)

4. Обстоятельство образа действия / сопутствующего действия
   Он говорил, улыбаясь. (как? каким образом? сопровождая основное действие)

5. Обстоятельство уступки

• Несмотря на усталость, он продолжал идти.*
  (возможен близкий смысл: * Устав, он всё же продолжал идти.* — хотя был уставшим)

Итак, главное: деепричастие в предложении — это обстоятельство (а деепричастный оборот — распространённое обстоятельство).