Объясните написание выделенных букв в словах: старуха, немножко, ложкой, бедняжку, чашку.

Сделаю морфемный и орфографический разбор — почему в этих словах пишутся именно те буквы.

1. старуха — буква а в корне.
   Слово состоит из корня стар- (от старый) и суффикса -уха (образует существительные женского рода, иногда с пренебрежительным оттенком). Пишем а, потому что это гласный корня стар- (проверочные и родственные слова: старый, старик). Ударение в слове меняет звук, но написание корня сохраняется.

2. немножко — буква ж в корне множ-.
   Это слово связано с корнем мног- (много). В разных словоформах корень чередуется: мног- / множ- (ср.: много — умножать — множество). Буква ж здесь — историческая/морфологическая форма корня (вариант перед суффиксами), поэтому пишем немножко (не + множ + -ко).

3. ложкой — буква ж в корне лож-.
   Сущ. ложка образовано от корня лож- (ср.: ложить, положить). Буква ж — неизменная часть корня, поэтому в форме творительного падежа единственного числа женского рода пишем ложкой (или разговорно «ложкою»), сохраняя ж.

4. бедняжку — буква ж в суффиксе/образующей части.
   Это уменьшительно-ласкательная (или сочувственная) форма от бедный → бедняк → бедняжка/бедняжку. Морфемный разбор: бедн- (корень) + -яж- (образующий суффикс, дающий оттенок “бедный, жалостливый”) + -к- (уменьшит.) + окончание. Буква ж входит в суффикс -яж-, поэтому пишем бедняжку.

5. чашку — буква ш в корне чаш-.
   Слово от существительного чаша (корень чаш-). В формах (чаша → чашка → чашку) корень остаётся с буквой ш, поэтому в винительном/винительном разговорном варианте пишем чашку.

Коротко: во всех примерах написание объясняется морфологией — буквы являются частью корней или суффиксов (а не случайными звуками), и их правильность подтверждается родственными словами и морфемным разбором: стар- → старуха; мног-/множ- → немножко; лож- → ложкой; бедн- + -яж- → бедняжку; чаш- → чашку.