Разграничим так: многозначные слова — это одно и то же слово, у которого значения связаны (обычно по сходству, переносу, ассоциации). Омонимы — слова одинаково звучат и пишутся, но это разные слова, их значения не связаны.

1) БРОДИТЬ по лесу — тесто БРОДИТ

• Бродить по лесу = ходить, блуждать.

• Тесто бродит = происходит брожение, «поднимается», ферментируется.

Эти значения не объясняются как перенос одного от другого (ходьба по лесу и химический процесс брожения — разные сферы, нет общей «цепочки» смысла).
✅ Это омонимы.

2) КЛЮЧИ от квартиры — КЛЮЧ к решению задачи — гаечный КЛЮЧ

Здесь значения объединяются общей идеей: «то, что открывает / помогает получить доступ / позволяет решить».

• Ключ от квартиры открывает замок.

• Ключ к решению задачи — то, что «открывает» понимание, помогает найти ответ (переносное значение).

• Гаечный ключ — инструмент, который «открывает»/откручивает (освобождает) крепёж, то есть помогает «справиться» с гайкой.

Значения связаны и понятны через перенос.
✅ Это многозначное слово (полисемия).

3) БОЛТАТЬ без умолку — БОЛТАТЬ ногами

• Болтать без умолку = много говорить (часто — пусто, беспорядочно).

• Болтать ногами = махать, раскачивать, двигать туда-сюда без дела.

Связь есть: в обоих случаях подразумевается беспорядочное, «суетливое», лишнее движение — только в первом это «движение речи», во втором — физическое движение.
✅ Это многозначное слово.

4) ЛЕЧУ на самолёте — ЛЕЧУ горло

• Лечу на самолёте = «лечу» от лететь (двигаться по воздуху, быстро перемещаться).

• Лечу горло = «лечу» от лечить (заниматься лечением).

Это разные глаголы (лететь и лечить), просто их форма 1-го лица совпала: «лечу». Значения не связаны переносом, потому что это разные слова.
✅ Это омонимы (точнее — омонимичные формы).

5) КИСТЬ руки — КИСТЬ винограда

• Кисть руки = часть руки.

• Кисть винограда = «гроздь», пучок ягод на веточке.

Связь очевидная: пучок/собранность элементов, похожая «свисающая» форма (перенос по сходству).
✅ Это многозначное слово.

6) КОРЕНЬ дерева — КОРЕНЬ слова

• Корень дерева = часть растения, основа, питающая и удерживающая.

• Корень слова = главная значимая часть, «основа» слова, от которой образуются другие.

Значения связаны переносом: корень как основа, источник, «то, на чём держится».
✅ Это многозначное слово.

Итог

Омонимы: 1, 4.
Многозначные слова: 2, 3, 5, 6.