1. Мысль не застать ее в Пятигорске молотком ударяла мне в сердце. 2. Что ж, желаю тебе хорошо повеселиться. 3. Капитан Тушин послал одного из солдат отыскивать перевязочный пункт или лекаря. 4. А едем мы теперь искать Палицыно. 5. Пушки и пристани палят, кораблю пристать велят.

Грамматическая основа: мысль ударяла.

Подлежащее: мысль (о чём?).

Сказуемое: ударяла (что делала?).

Оборот «не застать ее в Пятигорске» — это уточнение содержания мысли (по смыслу: мысль о том, что…), то есть инфинитивный оборот, зависимый от слова мысль.

Грамматическая основа: желаю (подлежащее не выражено, подразумевается я).

«тебе» — дополнение (кому?).

«хорошо повеселиться» — зависимая инфинитивная часть при сказуемом желаю (чего желаю?).

Грамматическая основа: Тушин послал.

Подлежащее: капитан Тушин.

Сказуемое: послал.

«одного из солдат» — дополнение (кого?).

«отыскивать…» — инфинитив (с какой целью послал? что делать?), при сказуемом послал.

Грамматическая основа: мы едем.

Подлежащее: мы.

Сказуемое: едем.

«теперь» — обстоятельство времени.

«искать Палицыно» — инфинитивный оборот (зачем/с какой целью едем?).

Грамматическая основа: пушки и пристани палят, (пушки и пристани) велят.

Подлежащее: пушки и пристани (однородные подлежащие).

Сказуемые (однородные): палят, велят.

Во второй части: «кораблю» — дополнение в дательном (кому велят?), «пристать» — инфинитив (что велят сделать?).