Укажите падеж прилагательных: густой, красивая, грустный, громкий, самых красивых, наших, второй, молодые.

Определить падеж прилагательного можно только в составе словосочетания или предложения, потому что падеж у прилагательного зависит от существительного (или местоимения-существительного), с которым оно согласуется. В вашем списке слова даны без контекста, поэтому для большинства из них нельзя однозначно указать падеж: форма совпадает сразу у нескольких падежей.

Ниже — что можно сказать точно по каждой форме.

1. густой
   Форма м.р., ед.ч.
   Падеж не определяется без контекста, потому что «густой» может быть:

• И.п. (густой лес)

• В.п. (вижу густой лес — для неодуш.)

• Р.п. (нет густого леса — но это уже другая форма, не «густой»)
  Здесь именно форма «густой» подходит как минимум под И.п. и В.п..

2. красивая
   Форма ж.р., ед.ч.
   Падеж не определяется без контекста, потому что «красивая» может быть:

• И.п. (красивая девушка)

• В.п. (вижу красивую девушку — но это уже «красивую», не «красивая»)

• Т.п. (красивой девушкой — другая форма)
  То есть конкретно «красивая» чаще всего — И.п., но без контекста строго сказать нельзя (формально она однозначнее, чем «густой», но всё равно по правилу нужен контекст).

3. грустный
   Форма м.р., ед.ч.
   Падеж не определяется без контекста:

• И.п. (грустный мальчик)

• В.п. (вижу грустный пейзаж — неодуш.)

4. громкий
   Форма м.р., ед.ч.
   Падеж не определяется без контекста:

• И.п. (громкий голос)

• В.п. (слышу громкий звук — неодуш.)

5. самых красивых
   Форма мн.ч., род. падежная/предложная/возможна и винительная для одуш.
   Без контекста падеж не определяется, потому что совпадают формы:

• Р.п. (нет самых красивых цветов / нет самых красивых людей)

• П.п. (о самых красивых местах)

• В.п. (вижу самых красивых актёров — если речь об одуш.)

6. наших
   Форма мн.ч. (это тоже прилагательное местоименное: «наш»)
   Падеж не определяется без контекста, потому что «наших» может быть:

• Р.п. (нет наших друзей)

• В.п. (вижу наших друзей — одуш.)

• П.п. (о наших друзьях)

7. второй
   Форма ж.р., ед.ч. (часто: «вторая» — И.п. ж.р., но «второй» — это формы косвенных падежей ж.р. и ещё И.п. м.р. для «второй день» в старых/особых сочетаниях не норма; в обычной школьной грамматике «второй» — это чаще ж.р. косвенные падежи)
   Без контекста падеж не определяется, потому что «второй» (ж.р.) может быть:

• Р.п. (нет второй страницы)

• Д.п. (подошёл ко второй остановке)

• Т.п. (со второй попыткой — обычно: «со второй попытки», но форма «второй» встречается в Т.п. при управлении)

• П.п. (о второй главе)

8. молодые
   Форма мн.ч.
   Падеж не определяется без контекста, потому что «молодые» может быть:

• И.п. (молодые люди пришли)

• В.п. (вижу молодые деревья — неодуш.)

Итог: без слов, к которым эти прилагательные относятся (или без предложений), падеж однозначно не установить, потому что формы совпадают у разных падежей.