Надо ли писать мягкий или твёрдый знак в данных словах? Почему? Сверх(?)мощный, четырёх(?)этажный, все(?)общий, с(?)экономить, без(?)облачный.

Правильно так: сверхмощный, четырёхэтажный, всеобщий, сэкономить, безоблачный.
Во всех этих словах ни мягкий знак, ни твёрдый знак не пишутся.

Разберём по каждому слову и по правилу.

1. Сверхмощный
Пишется сверхмощный, без ъ и без ь.
Почему: сверх- — это приставка. Твёрдый знак после приставок пишется перед буквами е, ё, ю, я, например: подъезд, объём, съёмка.
Но в слове сверхмощный после приставки идёт буква м, поэтому никакой разделительный знак не нужен.

2. Четырёхэтажный
Пишется четырёхэтажный, без ъ и без ь.
Почему: здесь четырёх- — первая часть сложного слова, а не приставка в том смысле, при котором нужен твёрдый знак. После неё идёт э, а перед буквой э разделительный твёрдый знак вообще не пишется.
Поэтому верная форма — четырёхэтажный.

3. Всеобщий
Пишется всеобщий, без ъ и без ь.
Почему: здесь нет условий для разделительного знака. Сочетание ео в этом слове произносится слитно, это обычное написание сложившегося слова: все-общий → всеобщий.

4. Сэкономить
Пишется сэкономить, без ъ и без ь.
Почему: приставка с- перед буквой э пишется без твёрдого знака.
Твёрдый знак после приставки возможен только перед е, ё, ю, я: съезд, съёмка.
Перед э он не нужен, поэтому правильно: сэкономить.

5. Безоблачный
Пишется безоблачный, без ъ и без ь.
Почему: приставка без- стоит перед корнем, который начинается с о. Разделительные ъ и ь перед о не пишутся.
Поэтому верно: безоблачный.

Итоговое правило:
Твёрдый знак после приставки пишется только перед буквами е, ё, ю, я.
Мягкий знак в этих словах тоже не нужен, потому что нет условий для разделительного ь.

Значит, правильно:
сверхмощный, четырёхэтажный, всеобщий, сэкономить, безоблачный.