Как произошли фразеологизмы (их история): "Без рук", "Выворачивать руки", "Греть руки", "Держать в руках", "Золотые руки", "Из первых рук", "Как рукой сняло", "Махнуть рукой", "Нечист на руку", "Опускать руки", "Протянуть руку помощи", "Рукой подать", "Руки чешутся", "С протянутой рукой", "Ухватиться обеими руками".

Соберу ответ как развернутое объяснение происхождения каждого выражения и сразу сведу значения с исторической основой, без ссылок в тексте.

У большинства таких выражений источник довольно прозрачный: они выросли из самых обычных действий, связанных с рукой как главным орудием труда, жеста, власти, помощи, захвата, удержания. Поэтому многие фразеологизмы со словом «рука» сначала были почти буквальными, а уже потом стали переносными. Точную дату рождения каждого оборота установить обычно нельзя, потому что они складывались в живой разговорной речи постепенно, но их внутренняя логика хорошо понятна. +1

«Без рук» — это выражение возникло из буквального представления о человеке, который без рук беспомощен и не может выполнять обычную работу. Отсюда переносное значение: «совсем не умеет что-то делать», «крайне неловок», а иногда и «как без рук» — то есть без чего-то очень нужного чувствуешь себя беспомощно. Основа здесь очень древняя и бытовая: рука мыслилась как главный инструмент действия. +1

«Выворачивать руки» первоначально связано с совершенно реальным насильственным приемом: человеку заламывали, выкручивали руки, чтобы сломить сопротивление. Потом это стало обозначать уже не только физическое насилие, но и моральное давление, принуждение, шантаж: «заставлять против воли». То есть образ сохранился буквально телесный, а смысл расширился до психологического. +1

«Греть руки» — выражение строится на образе человека, который пользуется чужим «огнем», чужим делом, чужой бедой себе на пользу. Смысл «наживаться», особенно нечестно, появился потому, что «греться» — значит получать выгоду, комфорт, тепло, ничего не создавая самому. Очень близок по образности другой русский оборот — «чужими руками жар загребать»: пользоваться чужими усилиями ради собственной пользы. +1

«Держать в руках» возникло из буквального действия удерживания предмета: пока вещь у тебя в руках, ты ею владеешь и контролируешь ее. Отсюда переносное значение: управлять собой, сдерживать себя, подчинять себе ситуацию, людей или ход дела. В основе — древняя связь руки с властью и контролем. +1

«Золотые руки» — очень понятная народная метафора. Золото издавна связывалось с ценностью, редкостью, высоким качеством. Поэтому «золотые руки» — это руки мастера, человека, который умеет делать что-то особенно хорошо. Иными словами, ценны не сами руки, а мастерство, которое через них проявляется. +1

«Из первых рук» происходит из ситуации непосредственной передачи: ты получаешь вещь, весть или сведения прямо из рук того, кто ими владеет, без посредников. Отсюда значение: из самого надежного, прямого источника, непосредственно от участника или очевидца. Это выражение особенно легко понять на фоне бытового обмена предметами «из рук в руки». +1

«Как рукой сняло» связано с древним представлением о руке как орудии исцеления, снятия боли, сглаза, болезни. В народной речи рука могла «снять» недуг — как будто одним прикосновением убирают тяжесть. Поэтому выражение значит: прошло сразу, внезапно, будто мгновенно убрали. В нем чувствуется след старых лечебных и магических представлений. +1

«Махнуть рукой» возникло из выразительного жеста: человек махает рукой, как бы отбрасывая заботу, прекращая попытки, отказываясь от борьбы. Поэтому смысл оборота — перестать добиваться, оставить дело, смириться, перестать обращать внимание. Это один из тех фразеологизмов, где жест почти напрямую стал значением. +1

«Нечист на руку» — старый оборот, где «нечистый» значит не только грязный в прямом смысле, но и морально сомнительный, нечестный. «Рука» здесь указывает на способ действия: человек «руками» берет чужое, ворует, присваивает. Поэтому выражение значит «склонен к воровству», «нечестен в денежных или имущественных делах». Здесь очень ясно видно древнее сближение телесной чистоты и нравственной чистоты. +1

«Опускать руки» тоже идет от наглядного телесного образа. Пока человек действует, руки подняты, заняты работой; когда он сдается, обессиливает, прекращает сопротивление, руки опускаются. Так возник переносный смысл: терять волю, отчаиваться, переставать действовать. Это почти универсальный человеческий жест бессилия. +1

«Протянуть руку помощи» выросло из буквального жеста: упавшему, слабому, нуждающемуся протягивают руку, чтобы поддержать, поднять, спасти. Этот образ настолько естественный, что очень рано стал символом помощи вообще — не только физической, но и моральной, денежной, дружеской. +1

«Рукой подать» означает «совсем близко». Источник очень простой: расстояние настолько мало, что будто бы можно дотянуться рукой и подать что-то. Здесь рука служит мерой близости, досягаемости. В разговорной речи это один из самых естественных способов обозначить короткое расстояние. +1

«Руки чешутся» основано на телесном ощущении, которое народное сознание часто связывало с сильным внутренним побуждением. Когда «руки чешутся», человеку не терпится что-то сделать: приняться за работу, вмешаться, а иногда даже ударить кого-то. Сначала это было почти физиологическое ощущение, потом — образ нетерпения к действию. +1

«С протянутой рукой» — выражение из прямой жизненной сцены нищенства: просящий милостыню протягивает руку. Поэтому фразеологизм стал обозначать крайнюю нужду, унизительное положение просителя, зависимость от чужой помощи. Здесь переносное значение почти целиком держится на социальной картине старого быта. +1

«Ухватиться обеими руками» возникло из буквального образа крепкого, жадного, надежного захвата. Если что-то очень важно, выгодно или спасительно, человек хватается не одной рукой, а обеими, чтобы уж точно не упустить. Отсюда и переносный смысл: с большой готовностью принять предложение, возможность, идею; воспользоваться случаем немедленно и очень охотно. +1

Если подытожить, почти все эти выражения появились из трех основных смысловых линий. Во-первых, рука как орудие действия и труда: отсюда «золотые руки», «без рук», «держать в руках». Во-вторых, рука как знак власти, насилия или контроля: «выворачивать руки», «держать в руках». В-третьих, рука как жест помощи, близости, просьбы, отказа: «протянуть руку помощи», «рукой подать», «махнуть рукой», «с протянутой рукой». Именно поэтому фразеологизмы с «рукой» в русском языке такие многочисленные и такие живые: они опираются на самые базовые человеческие действия и жесты. +2Грамота+2