Какие предлоги пишутся слитно со словами: заляжет, беспросыпа, не есть, не пить, зарылась, под песком?

Предлоги не пишутся слитно со словами. Слитно со словами пишутся приставки, а предлоги пишутся отдельно.

В данных примерах слитно написаны не предлоги, а приставки:

заляжет — здесь за- является приставкой:
за + ляжет → заляжет.
Это глагол, поэтому «за» не может быть предлогом внутри слова.

беспросыпа — здесь бес- является приставкой:
бес + просыпа → беспросыпа.
Слово означает «без пробуждения, крепко, долго». Пишется слитно.

зарылась — здесь за- является приставкой:
за + рылась → зарылась.
Это тоже глагол, приставка входит в состав слова.

А вот отдельно пишутся:

не есть — не с глаголом пишется раздельно. Это не предлог, а частица.

не пить — тоже раздельно: не с глаголом пишется отдельно.

под песком — под является предлогом, поэтому пишется отдельно от существительного:
под чем? — под песком.

Итак, слитно в этих словах пишутся приставки за-, бес-, за-:
заляжет, беспросыпа, зарылась.

А предлог есть только в сочетании под песком, и он пишется отдельно.