Однокоренные ли слова "стол" и "престол"?

Да, «стол» и «престол» являются однокоренными словами, но это лучше понимать с оговоркой: родство у них прежде всего историческое, этимологическое.

Слово «престол» восходит к сочетанию приставки пре- и корня -стол-. Первоначально оно означало не просто «царская власть» или «трон» в отвлечённом смысле, а именно место, сиденье, возвышенное сиденье правителя. То есть связь со словом «стол» была более наглядной, чем сейчас.

В современном русском языке слово «стол» обычно воспринимается как предмет мебели, за которым едят, пишут, работают. А «престол» — это уже торжественное, книжное или религиозное слово: трон, царская власть, а также в церковном значении — алтарь. Из-за такого расхождения значений обычный носитель языка может не чувствовать их родства.

Но исторически корень один: стол / -стол-.

Сравнить можно так:

стол — предмет мебели;
престол — буквально когда-то «возвышенное сиденье», «трон»;
престольный — связанный с престолом;
престолонаследие — наследование престола.

Поэтому ответ такой: да, “стол” и “престол” однокоренные, если говорить об их происхождении; в современном языке их смысловая связь сильно затемнена, но исторически она есть.