Почему сочетания "жи-ши" пишутся через И? Я понимаю, что после шипящих пишутся только "я, ё, ю, и, е". А причина существования правил с шипящими?

Разберу не только школьное правило, а именно причину: здесь смешались история произношения и принцип русской орфографии.

Сочетания жи и ши пишутся через и не потому, что так сейчас слышится, а потому что это историческое написание.

В современном русском языке звуки [ж] и [ш] почти всегда твёрдые. Поэтому в словах вроде жизнь, жить, шить, широкий мы фактически произносим что-то близкое к [жы], [шы]. Именно поэтому детям это правило и приходится специально заучивать: на слух там просится ы.

Но раньше ситуация была другой. В древнерусском языке шипящие ж и ш были мягкими или, точнее, исторически восходили к мягким шипящим. После них естественно писалась буква и, потому что она соответствовала мягкому произношению: условно говоря, было ближе к [жи], [ши], а не к современному [жы], [шы].

Потом произношение изменилось: ж и ш отвердели. Но написание осталось старым. Русская орфография вообще часто хранит следы прежнего состояния языка. Мы уже произносим иначе, а пишем по традиции.

Поэтому правило «жи-ши пиши с и» — это не фонетическое правило современного русского языка, а историко-традиционное.

Важно ещё уточнить: не совсем верно говорить, что после шипящих пишутся только я, ё, ю, и, е. В школьных правилах как раз есть другие сочетания:

ча, ща пишутся с а, хотя слышится мягко: чаща, чай, щавель;
чу, щу пишутся с у: чудо, щука;
жи, ши пишутся с и: жизнь, шина.

Причина здесь в том, что шипящие в русском языке ведут себя особым образом. Одни из них всегда или почти всегда твёрдые: ж, ш. Другие всегда мягкие: ч, щ. Поэтому обычная система букв, где я, ю, ё, е, и часто показывают мягкость предыдущего согласного, после шипящих работает не так прямо.

Например, в слове мял буква я показывает, что м мягкий: [м’ал].
А в слове чаща мягкость ч и щ не надо специально обозначать буквой я, потому что эти звуки и так мягкие. Поэтому пишется ча, ща, а не чя, щя.

С жи-ши обратная ситуация: современные ж и ш твёрдые, но написание с и осталось от более старого произношения. Буква и здесь уже не смягчает согласный. В слове жить буква и не делает ж мягким: произносится твёрдое [ж].

Итак, кратко:

жи-ши пишутся через и, потому что это историческое написание, сохранившееся с тех времён, когда ж и ш были мягче. Позже произношение изменилось, ж и ш отвердели, но традиционная орфография осталась.

Именно поэтому правило выглядит нелогичным с точки зрения современного слуха, но вполне объяснимо с точки зрения истории языка.