1. Как правильно писать? - Более двухсот человек (находилось - находились) на пристани. - Сколько еще сказок и воспоминаний (осталось - остались) в ее памяти? - Шум и смех (послышался - послышались) в соседнем кабинете. - По прогнозам синоптиков (ожидается - ожидаются) не то снег, не то дождь. - Восемь самолётов полка попарно (взлетело - взлетели). 2. Подробно объясните, почему словосочетание "промышленная индустрия" является плеонастическим. 3. Напишите числительное словами в данном падеже: - кошелёк с 562 093 рублями, - стоимостью около 250 600 рублей, - на сумму свыше 340 900 рублей, - к найденным 562 093 рублям, - около 29 500 рублей.

Разберу как норму согласования, но отмечу места, где возможен второй вариант при другом смысловом акценте.

1. Как правильно писать

1. Более двухсот человек находилось на пристани.

Лучше: находилось.

Здесь подлежащее выражено количественным сочетанием: более двухсот человек. В таких случаях сказуемое часто ставится в форме единственного числа среднего рода, если речь идет о количестве как о единой массе, совокупности:
находилось более двухсот человек, собралось около ста человек, пришло свыше тысячи зрителей.

Форма находились тоже возможна, если автор хочет подчеркнуть не количество, а отдельных людей как действующих лиц. Но в данном предложении нейтральнее и грамматически предпочтительнее: находилось.

2. Сколько еще сказок и воспоминаний осталось в ее памяти?

Правильно: осталось.

Слово сколько образует количественное подлежащее: сколько сказок и воспоминаний. При таких конструкциях сказуемое обычно употребляется в единственном числе среднего рода:
сколько осталось, сколько прошло, сколько сохранилось.

Поэтому: Сколько еще сказок и воспоминаний осталось в ее памяти?

3. Шум и смех послышались в соседнем кабинете.

Правильно: послышались.

Здесь подлежащее состоит из двух однородных членов: шум и смех. Они соединены союзом и, поэтому сказуемое обычно ставится во множественном числе:
шум и смех послышались, голоса и шаги раздались, крики и плач доносились.

Форма единственного числа была бы естественнее при обратном порядке слов:
В соседнем кабинете послышался шум и смех.
Но в данном предложении подлежащее стоит перед сказуемым, поэтому лучше: послышались.

4. По прогнозам синоптиков ожидается не то снег, не то дождь.

Правильно: ожидается.

Оборот не то снег, не то дождь обозначает не два явления одновременно, а одно из двух возможных: либо снег, либо дождь. Поэтому сказуемое ставится в единственном числе: ожидается.

Смысл такой:
ожидается что-то одно: не то снег, не то дождь.

5. Восемь самолётов полка попарно взлетели.

Правильно: взлетели.

При количественном сочетании восемь самолётов возможны оба типа согласования, но здесь слово попарно подчеркивает раздельность действия: самолеты взлетали не как безликая масса, а парами. Поэтому сказуемое лучше поставить во множественном числе:
восемь самолётов попарно взлетели.

Итог:

1. Более двухсот человек находилось на пристани.

2. Сколько еще сказок и воспоминаний осталось в ее памяти?

3. Шум и смех послышались в соседнем кабинете.

4. По прогнозам синоптиков ожидается не то снег, не то дождь.

5. Восемь самолётов полка попарно взлетели.

2. Почему «промышленная индустрия» — плеоназм

Словосочетание промышленная индустрия является плеонастическим, потому что в нем повторяется один и тот же смысловой компонент.

Индустрия — это и есть промышленность, крупное машинное производство, отрасль хозяйства, связанная с производством товаров. То есть в слове индустрия уже содержится значение «промышленный».

Прилагательное промышленная означает «относящаяся к промышленности». Поэтому выражение промышленная индустрия фактически означает:
промышленная промышленность
или
индустриальная индустрия.

Это избыточное сочетание, потому что одно слово дублирует значение другого.

Правильно лучше сказать:

промышленность
или
индустрия
или, если нужно уточнить отрасль:
автомобильная индустрия, текстильная индустрия, нефтяная промышленность, металлургическая промышленность.

Например:

Неправильно или стилистически неудачно:
Развивается промышленная индустрия региона.

Лучше:
Развивается промышленность региона.
или:
Развивается индустрия региона.

Однако слово индустрия в современном языке может употребляться шире: туристическая индустрия, киноиндустрия, индустрия развлечений, модная индустрия. В таких случаях прилагательное действительно уточняет сферу. Но сочетание промышленная индустрия обычно считается избыточным, потому что «промышленность» уже является основным значением слова индустрия.

3. Числительные словами в нужном падеже

1. Кошелёк с 562 093 рублями

Предлог с требует творительного падежа.

Правильно:

кошелёк с пятьюстами шестьюдесятью двумя тысячами девяноста тремя рублями

2. Стоимостью около 250 600 рублей

Слово около требует родительного падежа.

Правильно:

стоимостью около двухсот пятидесяти тысяч шестисот рублей

3. На сумму свыше 340 900 рублей

Слово свыше требует родительного падежа.

Правильно:

на сумму свыше трёхсот сорока тысяч девятисот рублей

4. К найденным 562 093 рублям

Предлог к требует дательного падежа.

Правильно:

к найденным пятистам шестидесяти двум тысячам девяноста трём рублям

5. Около 29 500 рублей

Слово около требует родительного падежа.

Правильно:

около двадцати девяти тысяч пятисот рублей