Фавор - это устаревшее слово?

Не совсем. «Фавор» — слово не полностью устаревшее, но заметно книжное, немного старомодное и чаще всего живёт в устойчивых выражениях.

В современном русском языке его обычно употребляют не само по себе, а в сочетаниях:

«быть в фаворе» — пользоваться расположением, одобрением, поддержкой кого-то влиятельного.

Например:

Этот сотрудник явно в фаворе у начальства.
После удачного выступления актёр снова оказался в фаворе у публики.
Сейчас такие решения не в фаворе у инвесторов.

То есть слово ещё понятно и встречается, особенно в публицистике, разговорной и ироничной речи. Но звучит оно не нейтрально, а с оттенком книжности или лёгкой старомодности.

Если сказать просто: «Он получил фавор», «она дала ему фавор» — это уже будет звучать неестественно или архаично. В обычной речи вместо этого скажут: «расположение», «благосклонность», «поддержка», «покровительство», «одобрение».

Слово пришло в русский через европейские языки и связано с придворной культурой: быть «в фаворе» означало пользоваться милостью монарха, правителя, высокопоставленного лица. Отсюда и оттенок: кто-то находится ближе к власти, к начальству, к влиятельному кругу.

Есть ещё слово «фаворит» — оно намного более обычное и современное. Фаворит — тот, кому отдают предпочтение, кто считается наиболее вероятным победителем или любимцем. Например: «фаворит турнира», «фаворит публики».

Итак: «фавор» не является полностью устаревшим словом, но в свободном употреблении оно редкое и старомодное. В современном языке оно нормально звучит прежде всего в выражении «быть в фаворе» / «не быть в фаворе».