Есть ли слово "бывать"?

Да, слово «бывать» есть. Это нормальный русский глагол несовершенного вида.

Бывать означает: случаться, происходить время от времени; посещать какое-то место не один раз; находиться где-то иногда.

Примеры:

Такое бывает.
То есть такое иногда случается.

Я часто бываю в Москве.
То есть я время от времени приезжаю или нахожусь в Москве.

Он бывает у нас по выходным.
То есть он иногда приходит к нам по выходным.

В жизни всякое бывает.
То есть в жизни могут происходить разные вещи.

Глагол «бывать» связан с глаголом «быть», но отличается по значению. «Быть» обычно обозначает само существование или нахождение: я был дома. А «бывать» часто указывает на повторяемость или возможность события: я бываю дома по вечерам, такое бывает.