Объясните постановку знаков препинания: «Едва дождавшись, пока хозяйка постелет нам на печи душистой яровой соломы, тотчас же заснули».

В предложении:

«Едва дождавшись, пока хозяйка постелет нам на печи душистой яровой соломы, тотчас же заснули».

ставятся две запятые.

Первая запятая — после слова “дождавшись”:

Едва дождавшись, пока хозяйка постелет...

Она отделяет придаточную часть, начинающуюся союзом пока:
пока хозяйка постелет нам на печи душистой яровой соломы.

Эта придаточная часть зависит от слова дождавшись:
дождавшись чего? — пока хозяйка постелет соломы.

То есть здесь внутри деепричастного оборота есть придаточное предложение.

Вторая запятая — после слова “соломы”:

..., пока хозяйка постелет нам на печи душистой яровой соломы, тотчас же заснули.

Эта запятая закрывает придаточную часть пока хозяйка постелет... и одновременно отделяет весь начальный деепричастный оборот от главной части предложения.

Главная грамматическая основа: заснули. Подлежащее пропущено, но понятно по смыслу: мы заснули.

Деепричастный оборот: едва дождавшись, пока хозяйка постелет нам на печи душистой яровой соломы. Он обозначает добавочное действие при основном действии заснули:
заснули когда? при каком условии? — едва дождавшись, пока хозяйка постелет соломы.

Схематически предложение можно представить так:

[Деепричастный оборот, внутри которого есть придаточное предложение], [главная часть].

Или подробнее:

Едва дождавшись, (пока хозяйка постелет нам на печи душистой яровой соломы), тотчас же заснули.

Слово “тотчас же” запятыми не выделяется, потому что это обстоятельство времени, тесно связанное со сказуемым заснули: тотчас же заснули.