По какой причине в данном предложении стоит двоеточие: «Другое дело — история: она стареет медленнее, так как призвана сохранять то, что было, и учит предвидеть то, что может произойти»? Объясните это, ссылаясь на виды сложных предложений.

Двоеточие стоит потому, что это бессоюзное сложное предложение с пояснительно-причинными отношениями между его частями.

Первая часть: «Другое дело — история».
В ней сообщается основная мысль: история отличается от других явлений, она «другое дело».

Вторая часть: «она стареет медленнее, так как призвана сохранять то, что было, и учит предвидеть то, что может произойти».
Она раскрывает и обосновывает первую: объясняет, почему история является «другим делом».

Между частями можно мысленно поставить союз потому что:

Другое дело — история, потому что она стареет медленнее...

Именно возможность такого подстановочного союза характерна для двоеточия в бессоюзном сложном предложении: вторая часть называет причину или пояснение к содержанию первой.

При этом внутри второй части есть ещё сложноподчинённая конструкция:
«она стареет медленнее, так как призвана сохранять... и учит предвидеть...». Союз так как вводит придаточную часть причины: история стареет медленнее, потому что её назначение — сохранять прошлое и помогать предвидеть будущее.

Обороты «что было» и «что может произойти» — придаточные определительные (точнее, местоименно-определительные): они поясняют указательное слово то.