Найти грамматические основы в каждом предложении.
1. Ей удалось, однако, довольно скоро принять совершенно равнодушный и даже строгий вид. 2. Мы не надеялись никогда более встретиться, однако встретились. 3. Весело жить в такой земле! Воздух чист и свеж, как поцелуй ребёнка; солнце ярко, небо сине, чего бы, кажется, больше? Зачем тут страсти, желания, сожаления?.. Однако пора. Пойду к Елисаветинскому
источнику: там, говорят, утром собирается всё водяное общество. 4. Герой нашего времени, милостивые государи мои, точно портрет, но не одного человека: это портрет, составленный из пороков нашего поколения, в полном их развитии. Но не думайте, однако, после этого, чтоб автор этой книги имел когда-нибудь гордую мечту сделаться исправителем людских пороков.

Грамматическая основа — это главные члены предложения: подлежащее и сказуемое (или один главный член в односоставных предложениях).

1. Ей удалось, однако, довольно скоро принять совершенно равнодушный и даже строгий вид.
   Грамматическая основа: удалось принять (составное глагольное сказуемое).
   Подлежащего нет (безличное предложение).

2. Мы не надеялись никогда более встретиться, однако встретились.
   Первая часть: мы не надеялись встретиться (подлежащее — мы, сказуемое — не надеялись встретиться).
   Вторая часть: (мы) встретились (подлежащее пропущено, но подразумевается — мы; сказуемое — встретились).

Весело жить в такой земле!
Грамматическая основа: жить весело (безличное предложение, главный член — жить).

Воздух чист и свеж, как поцелуй ребёнка.
Грамматическая основа: воздух чист и свеж (подлежащее — воздух, сказуемые — чист, свеж).

Солнце ярко, небо сине, чего бы, кажется, больше?
Первая часть: солнце ярко (подлежащее — солнце, сказуемое — ярко).
Вторая часть: небо сине (подлежащее — небо, сказуемое — сине).
Третья часть: больше (односоставное безличное предложение, главный член — больше).

Зачем тут страсти, желания, сожаления?
Грамматическая основа: страсти, желания, сожаления (есть) — состав подлежащего; сказуемое отсутствует (неполное предложение).

Однако пора.
Грамматическая основа: пора (безличное предложение).

Пойду к Елисаветинскому источнику: там, говорят, утром собирается всё водяное общество.
Первая часть: (я) пойду (подлежащее пропущено — я, сказуемое — пойду).
Вторая часть: всё водяное общество собирается (подлежащее — всё водяное общество, сказуемое — собирается).

Герой нашего времени, милостивые государи мои, точно портрет, но не одного человека: это портрет, составленный из пороков нашего поколения, в полном их развитии.
Первая часть: герой нашего времени — портрет (подлежащее — герой нашего времени, сказуемое — портрет).
Вторая часть: это портрет (подлежащее — это, сказуемое — портрет).

Но не думайте, однако, после этого, чтоб автор этой книги имел когда-нибудь гордую мечту сделаться исправителем людских пороков.
Главная часть: (вы) не думайте (подлежащее пропущено — вы, сказуемое — не думайте).
Придаточная часть: автор этой книги имел мечту сделаться исправителем людских пороков (подлежащее — автор этой книги, сказуемое — имел мечту сделаться исправителем).