Укажите разряд числительных, определите их падеж. Каким членом предложения являются числительные:
1) Три девицы
2) одна мир
3) Третья девица
4) Царь три
5) Трех царь
6) тридцать три богатыря

Три девицы
Три — количественное числительное, простое. Стоит в именительном падеже. В сочетании «три девицы» числительное вместе с существительным обычно является одним членом предложения. Например, в предложении «Три девицы под окном пряли поздно вечерком» сочетание «три девицы» является подлежащим.

Одна мир
Сочетание записано с ошибкой: числительное одна употребляется с существительным женского рода, например «одна девица». Одна — количественное числительное, простое, именительный падеж. В предложении может быть определением или входить вместе с существительным в состав другого члена предложения. Без полного предложения точно определить синтаксическую роль нельзя.

Третья девица
Третья — порядковое числительное, простое. Стоит в именительном падеже, согласуется с существительным «девица» в женском роде и единственном числе. Является определением: девица какая? — третья.

Царь три
В таком виде сочетание грамматически неверно, поэтому определить падеж и член предложения числительного невозможно. Само слово три — количественное числительное.

Трех царь
В таком виде сочетание также составлено неправильно. Трех — форма количественного числительного три. Она может соответствовать родительному падежу («нет трех богатырей») или винительному падежу при обозначении одушевленных предметов («увидел трех богатырей»). Точный падеж и член предложения определяются только по полному предложению.

Тридцать три богатыря
Тридцать три — составное количественное числительное. Если это сочетание является, например, подлежащим: «Тридцать три богатыря вышли из моря», то числительное стоит в именительном падеже, а всё сочетание «тридцать три богатыря» является подлежащим. Само числительное входит в состав цельного сочетания с существительным.