Как правильно: "врачём" или "врачом"?

Правильный вариант — "врачом". Это форма творительного падежа существительного "врач" в единственном числе.

Слово "врач" — это существительное мужского рода, и в творительном падеже оно будет иметь окончание "-ом". Например: "Я разговариваю с врачом", "Он работает врачом".

Слово "врачём" является ошибочным. В русском языке нет такой формы для существительных в творительном падеже.