Какой частью речи является слово "можно" в предложении: "Радостью можно со всеми делиться празднично"?

Слово «можно» в предложении «Радостью можно со всеми делиться празднично» является модальным словом, а с точки зрения части речи — категорией состояния (или сказуемым в безличном предложении, выраженным словом состояния).

Объясню подробнее.

Слово «можно» в русском языке часто используется для выражения возможности, допустимости какого-либо действия. Оно не изменяется по числам, лицам или временам, не спрягается, и не относится к какому-то лицу — это признаки, характерные для категории состояния. Такие слова обозначают состояния, часто бывают безличными и выступают в роли главного члена предложения — сказуемого.

В данном предложении:
«Радостью можно со всеми делиться празднично»,
— слово «можно» выражает возможность совершить действие «делиться». Оно показывает, что действие допустимо, возможно. Таким образом, оно выполняет роль безличного сказуемого и относится к категории состояния.

Слово «можно» не относится к глаголам, наречиям или модальным частицам — это самостоятельная часть речи, входящая в разряд слов категории состояния.