Пишется синицЫн или синицИн?

Правильное написание — Синицын.

Это фамилия, образованная от слова «синица». При образовании фамилий от нарицательных существительных часто добавляется суффикс -ын или -ин, в зависимости от формы основы. В данном случае слово «синица» заканчивается на гласную, и к ней добавляется суффикс -ын, получаем фамилию Синицын.

Форма Синицин является орфографически неправильной и не соответствует нормам русского языка.