Как правильно написать: "моё" или "мой" день рождения?

Правильно говорить «мой день рождения».

Вот почему:

Слово «день» — это существительное мужского рода. В русском языке местоимение или прилагательное должно согласовываться с существительным в роде, числе и падеже. Так как «день» — мужского рода, то и местоимение должно быть «мой», а не «моё», которое употребляется с существительными среднего рода (например, моё платье, моё настроение).

Полный правильный вариант: «Сегодня мой день рождения».
Неправильно: «Сегодня моё день рождения», потому что нарушено согласование в роде.

Это правило касается не только слова «день рождения», но и других словосочетаний с «день» — например, мой день, мой день отдыха, мой день приезда и т.д.