Как правильно пишется слово: "щекочут" или "щекочат"?

Правильный вариант написания — "щекочат". Это форма глагола "щекотать" в 3-м лице, множественном числе, настоящего времени.

"Щекочут" — это неправильная форма, которая не существует в русском языке. Глаголы на -чить (включая "щекотать") в настоящем времени имеют форму "щекочат" (как и другие глаголы, например, "пишут", "бегут").