Как пишется: "участвуй" или "учавствуй"?

Правильное написание — "участвуй".

Это форма повелительного наклонения от глагола "участвовать". В русском языке глаголы в форме повелительного наклонения могут иметь разные окончания в зависимости от их основы. В данном случае основа глагола "участвовать" — "участв-", и добавляется окончание "-уй", что делает слово "участвуй".

Форма "учавствуй" является ошибочной, так как в русском языке нет такой формы для глаголов, образующихся от основы "участв-".