1. Вычислите массу Урана, если известно, что спутник Титания обращается вокруг Урана с периодом 8 дней 17 часов на расстоянии 438 тыс. км. 2. Вычислите массу Марса, если известно, что спутник Фобос обращается вокруг Марса с периодом 0,32 суток на расстоянии 9,3 тыс. км.

1. Масса Урана

Используем третий закон Кеплера: \( T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r^3 \), откуда \( M = \frac{4\pi^2 r^3}{G T^2} \).

Дано: период Титании \( T = 8 \text{ дн. } 17 \text{ ч} = 8 \times 24 \times 3600 + 17 \times 3600 = 752\,400 \text{ с} \), расстояние \( r = 438\,000 \text{ км} = 4.38 \times 10^8 \text{ м} \).

Вычисления:
\( r^3 = (4.38 \times 10^8)^3 \approx 8.40 \times 10^{25} \text{ м}^3 \),
\( T^2 = (7.524 \times 10^5)^2 \approx 5.66 \times 10^{11} \text{ с}^2 \),
\( 4\pi^2 \approx 39.48 \).

\( M = \frac{39.48 \times 8.40 \times 10^{25}}{6.674 \times 10^{-11} \times 5.66 \times 10^{11}} \approx \frac{3.32 \times 10^{27}}{37.8} \approx 8.78 \times 10^{25} \text{ кг} \).

Ответ: масса Урана \( \approx 8.8 \times 10^{25} \text{ кг} \) (табличное значение \( 8.68 \times 10^{25} \text{ кг} \)).

2. Масса Марса

Дано: период Фобоса \( T = 0.32 \text{ сут} = 0.32 \times 86\,400 = 27\,648 \text{ с} \), расстояние \( r = 9.3 \text{ тыс. км} = 9.3 \times 10^6 \text{ м} \).

Вычисления:
\( r^3 = (9.3 \times 10^6)^3 \approx 8.04 \times 10^{20} \text{ м}^3 \),
\( T^2 = (2.7648 \times 10^4)^2 \approx 7.64 \times 10^8 \text{ с}^2 \).

\( M = \frac{39.48 \times 8.04 \times 10^{20}}{6.674 \times 10^{-11} \times 7.64 \times 10^8} \approx \frac{3.17 \times 10^{22}}{0.0510} \approx 6.22 \times 10^{23} \text{ кг} \).

Ответ: масса Марса \( \approx 6.2 \times 10^{23} \text{ кг} \) (табличное значение \( 6.42 \times 10^{23} \text{ кг} \)).

0 0 Пожаловаться