Создайте в системе программирования PascalABC.Net модель «Хищник — жертва», которая будет отражать динамику численности двух популяций.

Составлю готовый вариант модели на уравнениях Лотки — Вольтерры: с формулами, полным кодом для PascalABC.Net и пояснением, что менять в параметрах.

Ниже приведён пример модели «Хищник — жертва» для PascalABC.Net. В основе модели лежат уравнения Лотки — Вольтерры. Программа рассчитывает изменение численности двух популяций и строит график: зелёная линия — жертвы, красная линия — хищники.

pascal
uses GraphABC;

const
  WindowW = 900;
  WindowH = 600;

  LeftMargin = 70;
  RightMargin = 30;
  TopMargin = 40;
  BottomMargin = 70;

  // Параметры модели
  alpha = 0.7;    // скорость размножения жертв
  beta = 0.02;    // вероятность встречи хищника и жертвы
  gamma = 0.5;    // естественная смертность хищников
  delta = 0.01;   // рост численности хищников за счёт поедания жертв

  // Начальные условия
  prey0 = 40.0;       // начальная численность жертв
  predator0 = 9.0;    // начальная численность хищников

  // Параметры расчёта
  dt = 0.05;      // шаг по времени
  tMax = 60.0;    // максимальное время моделирования

var
  prey, predator, time: array of real;
  steps: integer;
  maxPop: real;

procedure CalculateModel;
var
  i: integer;
  dx, dy: real;
begin
  steps := Round(tMax / dt);

  SetLength(prey, steps + 1);
  SetLength(predator, steps + 1);
  SetLength(time, steps + 1);

  prey[0] := prey0;
  predator[0] := predator0;
  time[0] := 0;

  for i := 0 to steps - 1 do
  begin
    // Уравнение для жертв:
    // рост популяции минус гибель от хищников
    dx := alpha * prey[i] - beta * prey[i] * predator[i];

    // Уравнение для хищников:
    // смертность плюс прирост за счёт питания жертвами
    dy := -gamma * predator[i] + delta * prey[i] * predator[i];

    // Метод Эйлера
    prey[i + 1] := prey[i] + dt * dx;
    predator[i + 1] := predator[i] + dt * dy;

    // Численность не может быть отрицательной
    if prey[i + 1] < 0 then
      prey[i + 1] := 0;

    if predator[i + 1] < 0 then
      predator[i + 1] := 0;

    time[i + 1] := time[i] + dt;
  end;
end;

procedure FindMaxPopulation;
var
  i: integer;
begin
  maxPop := prey[0];

  for i := 0 to steps do
  begin
    if prey[i] > maxPop then
      maxPop := prey[i];

    if predator[i] > maxPop then
      maxPop := predator[i];
  end;

  if maxPop <= 0 then
    maxPop := 1;
end;

function ScreenX(t: real): integer;
begin
  Result := LeftMargin + Round(t / tMax * (WindowW - LeftMargin - RightMargin));
end;

function ScreenY(pop: real): integer;
begin
  Result := WindowH - BottomMargin -
            Round(pop / maxPop * (WindowH - TopMargin - BottomMargin));
end;

procedure DrawAxes;
begin
  SetPenColor(clBlack);
  SetPenWidth(2);

  // Ось Y
  Line(LeftMargin, TopMargin, LeftMargin, WindowH - BottomMargin);

  // Ось X
  Line(LeftMargin, WindowH - BottomMargin,
       WindowW - RightMargin, WindowH - BottomMargin);

  SetFontSize(11);
  TextOut(WindowW div 2 - 60, WindowH - 35, 'Время');
  TextOut(10, 20, 'Численность');

  // Подписи
  TextOut(LeftMargin - 10, WindowH - BottomMargin + 10, '0');
  TextOut(WindowW - 80, WindowH - BottomMargin + 10, FloatToStr(tMax));

  TextOut(15, TopMargin - 5, FloatToStr(Round(maxPop)));
end;

procedure DrawLegend;
begin
  SetFontSize(12);

  SetPenColor(clGreen);
  SetBrushColor(clGreen);
  Rectangle(WindowW - 190, 40, WindowW - 170, 55);

  SetPenColor(clBlack);
  SetBrushColor(clWhite);
  TextOut(WindowW - 160, 37, 'Жертвы');

  SetPenColor(clRed);
  SetBrushColor(clRed);
  Rectangle(WindowW - 190, 70, WindowW - 170, 85);

  SetPenColor(clBlack);
  SetBrushColor(clWhite);
  TextOut(WindowW - 160, 67, 'Хищники');
end;

procedure DrawGraphs;
var
  i: integer;
begin
  ClearWindow(clWhite);

  DrawAxes;
  DrawLegend;

  SetFontSize(14);
  TextOut(250, 10, 'Модель «Хищник — жертва»');

  // График численности жертв
  SetPenColor(clGreen);
  SetPenWidth(2);

  for i := 1 to steps do
    Line(ScreenX(time[i - 1]), ScreenY(prey[i - 1]),
         ScreenX(time[i]), ScreenY(prey[i]));

  // График численности хищников
  SetPenColor(clRed);
  SetPenWidth(2);

  for i := 1 to steps do
    Line(ScreenX(time[i - 1]), ScreenY(predator[i - 1]),
         ScreenX(time[i]), ScreenY(predator[i]));
end;

begin
  CalculateModel;
  FindMaxPopulation;

  SetWindowSize(WindowW, WindowH);
  SetWindowCaption('Модель Хищник — жертва');

  DrawGraphs;
end.

Эта программа моделирует систему из двух популяций:

pascal
dx := alpha * prey[i] - beta * prey[i] * predator[i];
dy := -gamma * predator[i] + delta * prey[i] * predator[i];

Здесь prey — численность жертв, а predator — численность хищников.

Смысл коэффициентов следующий:

alpha показывает, как быстро размножаются жертвы, если хищников нет.

beta отвечает за уменьшение численности жертв из-за встреч с хищниками.

gamma показывает естественную смертность хищников при отсутствии пищи.

delta показывает, насколько успешно хищники увеличивают свою численность за счёт поедания жертв.

В программе используется численный метод Эйлера. На каждом шаге вычисляется изменение численности жертв и хищников, после чего новые значения добавляются к предыдущим:

pascal
prey[i + 1] := prey[i] + dt * dx;
predator[i + 1] := predator[i] + dt * dy;

После запуска появляется окно с графиком. Обычно динамика получается колебательной: сначала увеличивается численность жертв, затем вслед за ней растёт численность хищников. Когда хищников становится много, количество жертв уменьшается. После сокращения численности жертв хищникам не хватает пищи, и их численность тоже падает. Затем цикл повторяется.

Параметры модели можно менять в начале программы. Например, если увеличить beta, хищники будут быстрее уничтожать жертв. Если увеличить alpha, популяция жертв будет восстанавливаться быстрее. Если увеличить gamma, хищники будут быстрее вымирать при недостатке пищи.