Решите задачу оптимизационного моделирования:
Пошла баба на базар на людей посмотреть да кое-что продать. Сколько надо бабе взять на базар для продажи живых гусей, уток и кур, чтобы выручить как можно больше денег, если она может взять товара массой не более 50 килограмм? Причём известно, что:
масса одной курицы — 1,5 кг, стоимость курицы — 40 тугриков;
масса одной утки — 2 кг, стоимость утки — 45 тугриков;
масса одного гуся — 3,5 кг, стоимость гуся — 80 тугриков.

Решение задачи оптимизационного моделирования

Цель задачи: определить, сколько кур, уток и гусей нужно взять на базар, чтобы получить максимальную выручку при ограничении общей массы птиц в 50 кг.

1. Построение математической модели

Введём переменные:

• $x$ — количество кур;

• $y$ — количество уток;

• $z$ — количество гусей.

По условию задачи имеем следующие данные:

Общая масса всех птиц не должна превышать 50 кг. Поэтому получаем ограничение:

Общая выручка от продажи птиц составляет:

Необходимо найти такие значения $x,y,z$, при которых выручка будет максимальной.

Таким образом, математическая модель задачи имеет вид:

при ограничениях:

Последнее условие означает, что количество птиц должно быть целым неотрицательным числом.

2. Определение наиболее выгодного вида птицы

Вычислим выручку, приходящуюся на 1 кг массы каждого вида птицы.

Курица:

Утка:

Гусь:

Получаем:

Следовательно, наиболее выгодно продавать кур, поскольку они приносят наибольшую выручку на единицу массы.

Однако необходимо учитывать, что количество птиц должно быть целым, а грузоподъёмность ограничена 50 кг.

3. Поиск оптимального решения

Рассмотрим вариант, когда баба возьмёт только кур.

Максимальное количество кур:

Их общая масса:

Выручка:

При этом остаётся свободными 0,5 кг.

Теперь рассмотрим другой вариант: взять 32 курицы и одну утку.

Общая масса:

Общая выручка:

Полученная выручка больше, чем при продаже 33 кур:

Таким образом, сочетание 32 кур и одной утки выгоднее, чем продажа только кур.

4. Доказательство оптимальности решения

Докажем, что получить выручку больше 1325 тугриков невозможно.

Умножим ограничение по массе на 2:

Умножим это неравенство на 40:

Целевая функция:

Умно